Mathématiques de base Exemples

${(\cos (A) - 2)}^{2} - 4 \sin^{2} (A)$

Étape 1

Réécrivez $4 \sin^{2} (A)$ comme ${(2 \sin (A))}^{2}$ .

${(\cos (A) - 2)}^{2} - {(2 \sin (A))}^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (A) - 2$ et $b = 2 \sin (A)$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - (2 \sin (A)))$

Étape 3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$

Étape 4

Développez $(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (A) (- 2 \sin (A))$ et $2 \sin (A) \cos (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) \sin (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \cos (A) \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.1.2

Additionnez $- 2 \cos (A) \sin (A)$ et $2 \cos (A) \sin (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + 0 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.1.3

Additionnez $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2$ et $0$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $\cos (A) \cos (A)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.1.2

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (A)}^{1 + 1} + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\cos (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cdot \cos (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Étape 5.2.6

Multipliez $2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin (A) \sin (A)$

Étape 5.2.6.2

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin (A))$

Étape 5.2.6.3

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))$

Étape 5.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 {\sin (A)}^{1 + 1}$

Étape 5.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$

Étape 5.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Associez les termes opposés dans $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Soustrayez $4 \sin (A)$ de $4 \sin (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 0 - 4 \sin^{2} (A)$

Étape 5.3.1.2

Additionnez $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4$ et $0$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 4 \sin^{2} (A)$

Étape 5.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) - 4 \sin^{2} (A)$

Étape 5.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$

Étape 5.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1 - \sin^{2} (A))$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 \cos^{2} (A)$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Additionnez $\cos^{2} (A)$ et $4 \cos^{2} (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A)$

Étape 7.2

Soustrayez $2 \cos (A)$ de $- 2 \cos (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 4 \cos (A)$